和算と方程式1(流水算)

問題】(流水算)

ある川の上流のP地と下流のQ地は120km離れている。
PQ間を船が往復したところ、下りの速さは上りの速さの1.6倍で、下るのにかかった時間は上るのにかかった時間よりも6時間少なかった。
この時、この川の流速は何km/時か。

解説1(和算的解き方)

流水算(速さ)の問題になります。まず今回『下りの速さは上りの速さの1.6倍で』とありますので、何か【仮の数値】を 設定してみようと思います。

分かりやすい数字・計算しやすい数字であれば何でも大丈夫です! 最初ぱっと思いつくのは、下り16Km/時・上り10Km/時あたりですかね。
もちろんこれでも大丈夫です。ただもう少し数字を小さくできないか考えますと
それぞれを2で割っても整数のままになりますので、『下り8Km/時・上り5Km/時』で 設定した方がよろしいでしょう。その後の計算が楽になりますからね。 実際『下り8Km/時・上り5Km/時』は、8÷5=1.6なので1.6倍の速さの関係になっていますよね。

【仮の数値】をこれで設定できました。それではこの【仮の数値】の『下り8Km/時・上り5Km/時』で、問題を解き進めてみましょう。

速さの公式はいかがですか。 『時間=距離÷速さ』ですよね。

下りと上りにかかった仮の時間を求めてみます。 下りは120÷8=15時間、上りは120÷5=24時間となりますね。

それでは仮の時間差はどれくらいかといいますと、 24-15=9時間と出てきます。
あれ、問題文では6時間と書かれていますよね。ここで誤差が発生いたします。
つまり6÷9=2/3倍の違いが出てしまいますね。。 速さと時間というものは、反比例(逆の変化の関係)いたします。
例えば先ほどの仮の数値を2倍の速さの『下り16Km/時・上り10Km/時』で設定し直すと、 かかった時間は下り120÷16=7.5時間・上りは120÷10=12時間・時間差12-7.5=4.5時間となり、 『下り8Km/時・上り5Km/時』の場合の1/2倍の時間に変化しています。 つまり反比例の関係ですね。

今回最初の設定では2/3倍の時間の違いが出ましたので、仮と実際の速さは反比例より その逆の3/2倍の違いになるわけです。
それでは正しい速さに修正をいたします。 『下り8Km/時・上り5Km/時』の3/2倍にすればよいので、 下りの正しい速さは8×3/2=12Km/時 上りの正しい速さは5×3/2=7.5Km/時 となります。

このように最初に仮の数値を設定して、後から修正をかけ正しい数値を求めるという手法は 数的分野においてときどき使えますので、マスターしておくとよろしいかと思います。

あとはこの川の流速を求めることになりますね。 この流水算の公式はいかがですか。
『川の流速=(下りの速さ-上りの速さ)÷2』

それでは、上記に当てはめてみますと
川の流速=(12-7.5)÷2=4.5÷2=2.25 よって【2.25Km/時】が答えとなります。